蒙地卡羅方法（Monte Carlo method）

蒙地卡羅方法以那座賭場命名，它靠擲骰子來回答困難的確定性問題。想知道一塊矩形田地裡形狀古怪的池塘面積嗎？把石子隨機撒滿整片田，數一數落進水裡的比例，再乘上田地已知的面積。其深層想法是：把你手算不出的積分或求和，改寫成對隨機樣本的平均，然後讓隨機性代勞。

要估計積分 I = f(x) 在體積為 V 的區域上的積分，就從該區域中均勻隨機抽 N 個點 x_i，構成 I ~= (V / N) 乘以 f(x_i) 的總和。大數法則保證它收斂到真值，而中央極限定理告訴你統計誤差按 1 / sqrt(N) 下降，比例常數由 f 的散布決定。關鍵特徵是這個 1 / sqrt(N) 的速率與維度數無關，而每軸取 n 點的規則網格在 d 維中需要 n^d 個點。對於高維積分，蒙地卡羅完勝。

你在物理各處都會遇到它：統計力學中對波茲曼分布的抽樣、粒子物理中對碰撞事件與偵測器響應的模擬、路徑積分的計算、輻射輸運的計算，以及晶格量子色動力學。誠實的警告是它收斂很慢：要把誤差降為十分之一，需要一百倍的樣本。而且天真的均勻抽樣會在被積函數可忽略的區域浪費力氣；標準的解方是重要性抽樣，它會優先在重要之處取樣。