費米-狄拉克分布（Fermi-Dirac distribution）
/ FAIR-mee dee-RAK /
想像一道能階的階梯，以及一群拒絕擠在一起的電子——庖立不相容原理規定每個量子態至多容納一個粒子。在絕對零度，電子由最底層開始填滿階梯，每階一個，直到一條銳利的水位線。稍微加熱，也只有靠近水位線的電子能夠躍遷。費米-狄拉克分布，正是描述在溫度 T 下、能量為 epsilon 的狀態平均佔據多少個費米子的精確法則。
能量為 epsilon 的單粒子態，其平均佔據數為 n(epsilon) = 1 / (exp((epsilon - mu)/kT) + 1)，其中 k 是波茲曼常數，mu 是化學勢。由於分母中的 +1，n 恆介於 0 與 1 之間——你確實無法把超過一個費米子塞進同一個態。在 T = 0 時，此分布成為一個完美的階梯：epsilon < mu 時 n = 1，epsilon > mu 時 n = 0，而此零溫下的 mu 稱為費米能量 E_F。在有限溫度時，階梯軟化為 S 形曲線，在 mu 附近以約 kT 的能量寬度暈開，因此只有位於費米面約 kT 範圍內的電子才參與熱學與輸運過程。此公式由巨正則系綜逐一模式套用、只對 0 與 1 個粒子求和而得。
費米-狄拉克分布支配著金屬中的傳導電子、白矮星與中子星中的電子、原子核中的質子與中子，以及半導體中的載子。關於它與古典物理關係的一個關鍵但書：唯有在稀薄、高溫的極限下——此時 exp((epsilon - mu)/kT) 很大，+1 可忽略，平均佔據數遠低於 1——它才退化為馬克士威-波茲曼分布。一旦佔據數接近 1（即「簡併」氣體），量子統計就不可或缺，古典計數會嚴重失效。
室溫下的銅，費米能量約為 7 eV，而 kT 僅約 0.025 eV，故 kT/E_F 約為 0.004。費米-狄拉克階梯極為銳利：只有極小部分的電子（那些位於 E_F 約 kT 範圍內者）在熱學上是活躍的，這正是金屬的電子熱容遠小於古典均分定理估計值的原因。
只有位於費米能量約 kT 範圍內的電子會對加熱有反應。
與玻色-愛因斯坦分布的唯一符號差異——分母是 +1 而非 -1——在統計層面上就是不相容原理的全部內容。切勿混淆化學勢 mu 與費米能量：兩者僅在 T = 0 時相等，mu 會隨溫度漂移。