擺模型（pendulum model）

擺不過是繫在繩上、來回擺動的一個重物——最古老、最熟悉的振子，立鐘的心臟，也是規律運動的典型圖像。把它拉到一旁放開，重力把它拉回最低點，它衝過頭，盪上另一側，減速，再返回。擺模型就是精確描述這擺動的微分方程，也是從時鐘到振動系統物理的入門範例。

令 theta 為相對於正下方的角度。牛頓定律給出 theta'' + (g/L) sin(theta) = 0，其中 g 為重力、L 為擺長。sin(theta) 是關鍵而誠實的一項：回復的拉力並不正比於角度，而是正比於它的正弦，這使方程「非線性」，無法以初等公式求解。於是物理學家做了一筆著名的交易：對於小幅擺動，sin(theta) 非常接近 theta 本身，方程簡化為線性的 theta'' + (g/L) theta = 0，「這個」是可解的，給出週期為 2 pi 乘以根號 L/g 的乾淨簡諧運動。

那個線性化版本解釋了為何擺鐘能準確報時：對小幅擺動，週期取決於擺長 L 與重力，卻「不」取決於你拉多遠——每一次小擺動花同樣的時間。完整的非線性擺更為豐富：對大幅擺動，週期隨振幅略微增長，而在相平面上，運動既呈閉合迴圈（來回擺盪），若推得夠用力，也呈開放曲線，此時擺越過頂端、一圈又一圈地旋轉。

擺的全部重點就是逼近的教訓：真實方程非線性且無初等解，然而對小角度做線性化，你便在對時鐘重要的範圍內取回一個完全夠好的答案。把誠實擺正——週期與振幅無關的線性結論是一個逼近，對小擺動精確，對大幅擺動則溫和地失準。