霍奇金-赫胥黎模型（Hodgkin-Huxley model）
/ HOJ-kin HUKS-lee /
當你碰到燙的東西時，一個訊號沿神經疾速奔向大腦——一個尖銳的電脈衝，它傳播時既不衰減也不變形，這就是「神經脈衝」或動作電位。一條細而漏電的生物纜線，如何把一個乾淨的脈衝送過長距離？霍奇金-赫胥黎模型就是其數學答案，這是生物物理學的一大成就，為作者贏得諾貝爾獎。它是有史以來最有影響力的反應擴散系統之一。
這個模型是沿神經纖維的電壓 V(x, t) 的偏微分方程，並與描述離子通道狀態的常微分方程耦合。電壓服從形如 V_t = D V_xx + (離子電流)/C 的纜線方程，其中 D V_xx 是電壓沿纖維的擴散（纜線像一條漏電的導線），離子電流項則是一個非線性反應，取決於開閉鈉與鉀通道的閘控變數。因此它具有反應擴散的形態 u_t = D u_xx + f(u)：擴散把擾動鋪開，而非線性反應 f 則重生並銳化它。兩者交織產生一個行波解——一個形狀固定、以定速移動的脈衝——這正是動作電位。
它在神經科學之外的意義：霍奇金-赫胥黎系統是「可激介質」的奠基範例，其中一個小刺激要麼消退、要麼觸發一個巨大、自我維持、可再生的脈衝——一個全有或全無的閾值。較簡單的菲茨休-南雲方程以兩個變數捕捉同樣的定性行為，是研究神經脈衝、心臟組織波，以及心律不整中螺旋波的標準練習場。同一套反應擴散數學也支撐著化學波、火焰前緣與族群的擴散。
閾下相對於閾上：輕戳神經，電壓鼓包只會擴散開來而消亡（D V_xx 勝出）。若戳得超過閾值，非線性的鈉電流 f(V) 點燃，邊走邊使脈衝再生，於是它以固定振幅傳遍整條軸突——這就是神經脈衝的全有或全無律。
反應擴散 u_t = D u_xx + f(u)；擴散鋪開、反應使行波脈衝再生。
完整的霍奇金-赫胥黎是一個耦合的「偏微分方程加常微分方程」系統，含四個相互作用的變數，並非單一整潔的方程；著名易處理的數學通常來自它的化約，即兩變數的菲茨休-南雲模型。其生物學是針對魷魚巨軸突所擬合的模型，準確但具物種與條件的特定性。