Fisher-KPP 方程（Fisher-KPP equation）

一個有利的基因，或一個入侵的物種，如何橫越一塊大陸擴散開來？費雪（Fisher）在 1937 年問的正是這個問題，而冠上他姓氏（以及同年分析此方程的三位俄國數學家 Kolmogorov、Petrovsky、Piskunov 之名）的方程，是最乾淨的答案。它就是帶邏輯斯成長的反應擴散方程：局部上，族群稀少時成長迅速、擁擠時飽和，而擴散把它帶往新的疆域。結果是一道以確定速度推進的前進之波。

方程是 u_t = D u_xx + r u(1 - u)，其中 u(x, t) 是經過縮放、使 1 代表環境承載量的族群密度。反應項 f(u) = r u(1 - u) 有兩個不動點：u = 0（空白，不穩定——任何小族群都會成長）與 u = 1（飽和，穩定）。行波解 u(x, t) = U(x - c t) 把這兩個狀態連起來：在前緣之前它接近 0，之後接近 1，並以速度 c 推進。把這個試解代入，會把偏微分方程化成關於剖面 U 的常微分方程，而相平面分析顯示：對每個速度 c >= c_min = 2 sqrt(r D) 都存在前緣。一個了不起的事實（Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov）是：對於自然的、具緊緻支撐的初始資料，解恰好選出「最小」速度 c = 2 sqrt(r D)——可容許的最慢前緣，正是大自然挑中的那個。

為什麼這是個里程碑？它是由前沿成長「拉動」的前緣傳播之原型，而 2 sqrt(r D) 這個速度在生物學、生態學、燃燒、乃至觀念的傳播中無處不在。它也教給我們關於非線性偏微分方程的一個微妙課題：數學上存在一整族行波，但動態只選出其中一個。被選出的速度只取決於不穩定態處的「線性化」（u = 0 處的成長率 r 與擴散 D），這正是它們被稱為「拉動型」前緣的原因——前緣是被前沿那指數般微小的族群「拉」著前進，而非從後方被推。