弗雷德霍姆二擇一（Fredholm alternative）
/ FRED-holm /
對一個方陣，你在線性代數裡學過一個乾淨的二分法：要嘛 A x = b 對每個 b 都有唯一解，要嘛 A 奇異——此時 A x = b 只對特殊的 b 可解，亦即那些與轉置齊次系統的解正交的 b。弗雷德霍姆二擇一正是這個二分法，從有限矩陣提升到橢圓邊界值問題的無窮維世界。它告訴你 L u = f 何時可解，以及唯一性可能壞到什麼程度。
對有界區域上的橢圓算子 L（譬如配狄利克雷條件），二擇一說恰有兩種情形之一成立。情形一：齊次問題 L u = 0 唯一的解是 u = 0。則 L u = f 對每個右端 f 都有唯一解——算子可逆。情形二：L u = 0 有非平凡解（一個有限維的解空間）。則 L u = f 可解，當且僅當 f 與伴隨齊次問題 L* v = 0 的每個解正交——而當解存在時它不唯一，你可加上任一齊次解。它成立的原因是緊性：解此橢圓方程等同於對 (I 減去一個緊算子) 求逆，靠的是索伯列夫空間的緊嵌入（雷利希-孔德拉霍夫），而恆等算子的緊擾動恰好服從矩陣的那個二分法。
這是涉及特徵值時可解性的組織原則。考慮配狄利克雷資料的 - Laplacian u - lambda u = f。對多數 lambda，齊次問題只有 u = 0，故你總能求解。但若 lambda 恰等於某個狄利克雷特徵值，齊次問題就有特徵函數，此時 L u = f 只在 f 與那些特徵函數正交時可解——這正是你在受迫振子處於其固有頻率時遇到的同一個共振條件。弗雷德霍姆二擇一就是讓那個共振變精確的東西。
在 (0, pi) 上配 u(0) = u(pi) = 0，求解 u'' + u = f。齊次問題 u'' + u = 0 有非零解 sin x（因 lambda = 1 是狄利克雷特徵值）。依弗雷德霍姆二擇一，此方程僅當 f(x) sin x 從 0 到 pi 的積分等於 0 時可解；否則根本無解，而當有解時你可加上 sin x 的任意倍數。
在共振時可解性變成有條件的：受迫項必須與共振模態正交。
正交條件是針對伴隨齊次解，而非原來的解。對自伴算子（如對稱的散度形式情形），伴隨等於算子自身，故兩者重合，條件就單純地讀作 f 與特徵函數正交——但對非自伴的 L，你必須用伴隨算子。