一維流（one-dimensional flow）

最簡單的運動世界只有一個座標：一顆在鐵絲上滑動的珠子、一個只是單一數字的族群、一個鬆弛向室溫的溫度。狀態就是一個數 x，而它如何變化的規則只依賴於 x 本身，不依賴於時鐘。研究這個單一數字如何演化，就是研究一維流，而正因為它是一維的，它受到的限制如此之大，使你不必解任何東西，就能讀出它全部的長期行為。

一維流就是一條自治的純量方程 x' = f(x)。把 f(x) 想成沿著直線的速度場：在每個 x 處，當 f(x) > 0 時點向右移、當 f(x) < 0 時向左移，而在 f(x) = 0 處靜止不動（不動點）。光是畫出 f 的正負號就把整個故事講完了。在相鄰兩個不動點之間，f 的正負號不能改變，所以點朝同一方向穩定地行進，直到抵達一個不動點，它逼近卻永遠跨不過去（軌跡不能相撞）。在某不動點處 f' < 0 的是穩定的（匯點）；f' > 0 的是不穩定的（源點）。這就是全部的動力學：每條軌跡要麼跑向無窮，要麼單調地安頓到一個不動點上。

關鍵而幾乎令人驚訝的事實是一維所禁止的：不可能有振盪，也不可能有混沌。要超越過頭再回來，你必須反轉方向，但反轉就意味著 f 變號，那就表示你穿過了一個不動點而被困住。所以在直線上，運動永遠是單調的——這正是為什麼有趣的振盪至少需要二維（一個平面），而混沌至少需要三維。一維流是乾淨的訓練場，不動點、穩定性與分岔都能以最純粹的形式被看見。