一階方程：恰當方程與代換
正交軌線（orthogonal trajectories）
給定一族佈滿平面的曲線——比方說所有以原點為心的圓——存在第二族曲線，它與其中每一條都以直角相交。那些相交的曲線就是正交軌線。日常的畫面是一張地圖：等高線與最陡下降的路徑（水會流下的線）總是以直角相遇，而一族正是另一族的正交軌線。
求它們是一階方法乾淨的三步應用。第一，取給定的單參數族 F(x, y) = C 並微分以得其微分方程 dy/dx = f(x, y)，過程中消去參數 C。第二，在每一點上，正交曲線的斜率必須等於負倒數，故把 dy/dx 換成 -1/(dy/dx)：新的微分方程是 dy/dx = -1/f(x, y)。第三，解這個方程；它的解族就是正交軌線的集合。
這是一階理論最具物理性的用途之一。在靜電學中，等位線與電場線互為正交軌線；在流體流動中是流線與等位線；在熱傳導中是等溫線與熱流線。負倒數那一步就是整個想法——互相垂直的斜率相乘等於負一——被打包成一個微分方程。
求圓族 x^2 + y^2 = C 的正交軌線。微分得 2x + 2y y' = 0，故 y' = -x/y。正交斜率是其負倒數 y' = y/x，一個可分離（也是齊次）方程，其解為 y = k x——通過原點的直線，確實與每個圓以直角相交。
把斜率換成其負倒數，再解新的方程。
翻轉斜率之前必須先消去參數 C：正交條件是關於斜率「場」，而非任何單一曲線，所以定義該場的微分方程必須不含 C。
又称
另见