待定係數法（method of undetermined coefficients）

想像有人問你：「什麼樣的輸入給出什麼樣的輸出？」對於少數行為良好的外力，答案令人愉快地可預測：用多項式推一個常係數系統，響應是多項式；用 e^(kx) 推，響應是 e^(kx) 的倍數；用正弦推，響應是正弦與餘弦的組合。待定係數法正是利用這種可預測性——你猜一個與外力同形狀的解，把係數留作未知，再讓方程告訴你這些係數。

它的步驟很直接。首先，看 g(x)，寫下一個形狀相符但係數待定的試解 y_p：對 g = 5e^(2x) 試 y_p = A e^(2x)；對 g = x^2 試 y_p = A x^2 + B x + C；對 g = sin(3x) 試 y_p = A cos(3x) + B sin(3x)。然後把 y_p、y_p'、y_p'' 代入左邊，合併同類項，再讓結果與 g(x) 相匹配。這給出未知常數的簡單線性方程，解出即可。把常數代回，就有一個特解。

兩個限制讓你誠實。第一，此法適用於常係數方程，且僅適用於由多項式、指數、正弦、餘弦以及它們的乘積與和所構成的外力——對其他任何東西（如 g = tan x 或 1/x），你必須改用參數變易法。第二，若你的猜測恰好已經是齊次方程的解，代入後會塌縮為零，方法看似失敗；這就是套用修正（乘以 x）規則的訊號。但在它的適用範圍內，它是最快的手算方法。