凱萊－哈密頓定理（Cayley-Hamilton theorem）
/ KAY-lee HAM-il-tun /
每個方陣都有特徵多項式，即以 lambda 為變量、其根為特徵值的多項式，由 det(A - lambda I) = 0 求得。凱萊－哈密頓定理提出一個驚人主張：若把那個多項式中的變量 lambda 換成矩陣 A 代入，得到的是零矩陣。一言以蔽之，每個矩陣都滿足自己的特徵方程。特徵值是讓多項式作為一個數而歸零的那些 lambda；定理說，A 本身讓它作為矩陣而歸零。
具體地，若 A 為 n×n，特徵多項式為 p(lambda) = lambda^n + c_(n-1) lambda^(n-1) + ... + c_1 lambda + c_0，則 p(A) = A^n + c_(n-1) A^(n-1) + ... + c_1 A + c_0 I = 0。它對微分方程的直接收益是巨大的。這個方程讓你把 A^n 改寫成低次冪 I, A, A^2, ..., A^(n-1) 的組合，再藉反覆代入，把 A^(n+1)、A^(n+2) 乃至每個更高的冪也都如此改寫。於是看似需要 A 全部冪的無窮指數級數其實坍縮了：e^(At) 總能寫成有限組合 c_0(t) I + c_1(t) A + ... + c_(n-1)(t) A^(n-1)，只需決定 n 個純量係數函數。無界的級數暗地裡是有限維的。
這是兩個實用方法背後的引擎。其一藉要求同一個有限公式對每個特徵值 lambda 重現 e^(lambda t)（重根時也匹配導數）來求係數函數。其二是普策爾算法，遞推地產生它們，全程不必計算特徵向量。無論哪種，凱萊－哈密頓都是你永不需要無窮和的原因：一個 n 維系統的指數，就活在 I, A, ..., A^(n-1) 所張成的空間裡。
對 A = [0, 1; -2, -3]，特徵多項式是 lambda^2 + 3 lambda + 2。凱萊－哈密頓說 A^2 + 3A + 2I = 0，即 A^2 = -3A - 2I，你可直接把 A 平方來驗證。因為 A 的每個冪都化約成 I 與 A 的組合，故寫 e^(At) = c_0(t) I + c_1(t) A，並藉在特徵值 -1 與 -2 處匹配 e^(-t) 與 e^(-2t) 來求 c_0、c_1。
因為 A 滿足自己的 n 次方程，A^n 及所有更高的冪都摺回 I, A, ..., A^(n-1)，故指數級數暗地裡是有限的。
凱萊－哈密頓講的是把矩陣代入多項式，把 A 代換 lambda 得到的是零矩陣，而非零這個數；別把它與特徵值方程 det(A - lambda I) = 0 混淆，後者是由數來滿足的。