幾何挫折（geometric frustration）

試著只用正五邊形鋪浴室地板。每個五邊形都是完美好用的形狀，你也能在一點周圍拼上幾個，但你永遠無法讓它們無縫、無重疊地鋪滿地板——五邊形就是不肯鋪滿平面。單看每塊磚它「想要」某種排法，空間的幾何卻禁止你到處都這麼做。這種內建的衝突——局部偏好的排列就是無法延展去填滿整個空間——就是幾何挫折。在液體與玻璃的結構中，它是某些液體抗拒結晶的一個深層原因。

看它在金屬中如何上演。當一撮等大原子聚成團以降低能量時，它們最偏好的排列往往是二十面體：一個中心原子被十二個坐在二十面形狀頂角上的鄰居擁抱著。這個二十面體團簇密合、低能量——但它具有五重對稱，而晶體學限制定理（crystallographic restriction theorem）證明，任何五重對稱的單元都無法週期性地鋪滿空間、以搭建晶體。於是原子陷入一個無解的困境：它們所偏好的局部堆積，與晶體所要求的長程週期有序在幾何上不相容。液體「受挫」了——它無法同時在各處滿足自己的局部偏好、又成為晶體，於是冷卻時它猶豫不決，那些它偏好的二十面體團簇反而積極地妨礙晶格的形成。

這種挫折之所以重要，是因為它從結構層面解釋了為何某些液體是好的玻璃形成者。若局部偏好的有序恰與晶體的構築單元相同，液體一有機會就會立刻結晶；挫折移除了那條容易的路，於是熔體能被過冷、改為凍成玻璃。這是金屬玻璃得以存在、以及金屬液體中出現二十面體短程有序的一大原因。同樣的衝突以不同方式化解，便產生準晶（quasicrystal，藉由放棄週期性來達成五重對稱）與法蘭克-卡斯帕相（Frank-Kasper phase，以巨大晶胞近似二十面體堆積的複雜晶體）。一個誠實的提醒：挫折是玻璃形成的一項重要成分，而非唯一成因——化學、原子尺寸失配與冷卻速率也都有影響。