鏡像對稱（mirror symmetry）

研究弦論的物理學家注意到一件離奇的事：兩個看起來完全不同的六維空間——不同的形狀、不同的拓樸、甚至不同的霍奇數——卻產生完全相同的物理。這些空間成對出現，彼此互為「鏡像」，而在一個空間上困難的幾何計算，在其鏡像上變成容易的計算。鏡像對稱是在二者之間翻譯的猜想性字典，它一直是幾何與物理之間最富成果的橋樑之一，壯觀地預言了枚舉幾何中數學家花了一個世紀都算不出的數。

對象是卡拉比-丘三維流形：第一陳類為零的緊複三維凱勒流形（由 Yau 定理等價於容許一個里奇平坦的凱勒度量）。鏡像對稱主張卡拉比-丘三維流形成對出現 X 與 X-check，其霍奇數互換：h^{1,1}(X) = h^{2,1}(X-check) 且 h^{2,1}(X) = h^{1,1}(X-check)。幾何上這交換了卡拉比-丘可被形變的兩種方式——其複結構（由 h^{2,1} 計數）與其凱勒／辛結構（由 h^{1,1} 計數）——故鏡像把「複幾何資料」換成「辛幾何資料」。最深刻的表述，同調鏡像對稱（Kontsevich），猜想一個範疇的等價：X 上凝聚層的導出範疇（複／代數那一側）等價於 X-check 的深谷範疇（辛那一側，由拉格朗日子流形建構）。最著名的具體推論：X 的虧格零格羅莫夫-威滕不變量（有理曲線的計數，一個辛計算）由鏡像 X-check 上全純 3-形式的週期積分計算（一個容易得多的複分析計算），把不可能的曲線計數化成可處理的積分。

為何它重要：鏡像對稱在任何證明之前就預言了五次三維流形上每個次數的有理曲線數目——像是 2875 條線、609250 條圓錐曲線等等——這些預言後來被驗證，開創了現代枚舉幾何與格羅莫夫-威滕理論。誠實的提醒是真實的。其一，鏡像對稱的大部分仍是猜想，或僅在特定情形是定理：同調鏡像對稱在多個族上被證明，但並非完全一般地成立，而「鏡像對稱為真」是許多狀態各異的陳述的傘——要明確指出是哪一個。其二，其物理起源（弦論、共形場論）是啟發式的，不是數學證明；嚴格的數學必須從頭重建（Givental、Lian-Liu-Yau 對五次曲線計數；SYZ 猜想經由對偶環面纖維化給出一個幾何機制）。其三，並非每個卡拉比-丘都有已知的鏡像，而剛性卡拉比-丘（h^{2,1} = 0）會需要一個 h^{1,1} = 0 的鏡像，那不可能是凱勒流形——故樸素的圖像有真正的例外，理論必須小心處理。