馬尤勒-卡坦形式（Maurer-Cartan form）
/ MOW-rer kar-TAHN /
在李群上有一個如此自然、無需任何選擇的微分形式：在每一點它讀出曲線的速度，並經由滑回單位元，把答案報告為李代數的單一元素。它是內蘊記錄群上運動的萬有「規範」。這就是馬尤勒-卡坦形式，而它的結構方程是括號的微分形式化身。
具體地，李群 G 的（左）馬尤勒-卡坦形式 theta 是 G 上取值於 g 的 1-形式：在點 g 處，它把切向量 v in T_g G 送到 theta_g(v) = (L_(g^(-1)))_* v in g = T_e G——也就是把向量左平移回單位元。由構造知 theta 左不變，且在每一點都是同構 T_g G -> g（它把切叢「平凡化」）。對矩陣群其公式為簡潔表達式 theta = g^(-1) dg，其中 dg 是各元素微分構成的矩陣。核心事實是馬尤勒-卡坦結構方程：d theta + (1/2)[theta ^ theta] = 0，在矩陣記號下等價於 d theta + theta ^ theta = 0，其中 [theta ^ theta] 把形式的楔積與李括號結合。這一個方程打包了群的全部局部結構；括號以「theta 不閉的障礙」之姿重現。
馬尤勒-卡坦形式是卡坦活動標架法以及主叢聯絡理論的種子（聯絡在局部即一個取值 g 的 1-形式，其在纖維上的限制即馬尤勒-卡坦形式）。它的結構方程是曲率恰為零的平坦「背景」模型；叢理論中的曲率，正度量聯絡偏離純馬尤勒-卡坦方程的程度。一個誠實提醒：馬尤勒-卡坦形式有兩個，左者（g^(-1) dg）與右者（dg g^(-1)）；約定有別，且結構方程中的符號取決於括號與楔積的約定，故務必確定所用的是哪個形式與哪套約定。
對矩陣群，theta = g^(-1) dg。利用 d(g^(-1)) = -g^(-1) (dg) g^(-1) 微分：則 d theta = d(g^(-1)) ^ dg = -g^(-1) dg ^ g^(-1) dg = -theta ^ theta，這正是結構方程 d theta + theta ^ theta = 0。整個局部李結構從一次矩陣運算中落出。
由 theta = g^(-1)dg，一行矩陣運算即得馬尤勒-卡坦結構方程。
有兩套約定：左形式 g^(-1)dg 與右形式 dg g^(-1)，結構方程的符號有別。MC 形式是平坦模型——其「曲率」由構造為零；勿把它讀作帶曲率的聯絡。