鞅中央極限定理（martingale central limit theorem）
經典 CLT 需要獨立的被加項。但機率與統計中許多和並不獨立——它們是鞅差：每一項在給定過去下條件均值為零，儘管它可能以其他方式依賴過去。鞅中央極限定理（MCLT）是影響深遠的推廣，為這類和恢復漸近常態性，而變異數的角色由（可料）二次變差接手。它是馬可夫鏈、隨機逼近、最大概似與估計方程估計量的中央極限定理，以及離散鞅收斂到布朗運動背後的引擎。
一個乾淨版本（離散時間、三角陣列）：設 (X_{n,k}) 對每個 n 是相對於某濾過的鞅差序列（E[X_{n,k} | F_{n,k-1}] = 0）。假設可料二次變差穩定，sum_k E[X_{n,k}^2 | F_{n,k-1}] -> sigma^2 依機率收斂（常數或隨機極限），且條件林德伯格條件成立，對每個 epsilon > 0 有 sum_k E[X_{n,k}^2 1_{|X_{n,k}| > epsilon} | F_{n,k-1}] -> 0 依機率收斂（無單一項主導）。則部分和 S_n = sum_k X_{n,k} 依分布收斂到 N(0, sigma^2)（若 sigma^2 隨機則為常態混合）。連續時間／泛函形式更銳利、更具結構：一列 M^n_0 = 0 的 cadlag 局部鞅 M^n，其可料二次變差收斂 <M^n>_t -> c(t)（c 為確定性連續遞增函數），且其跳躍漸近可忽略（條件林德伯格或極大跳躍條件），便在斯科羅霍德路徑空間中收斂到具該變異數函數的連續高斯鞅——對 c(t) = t，極限即布朗運動。這正是 Donsker 型不變原理與 Stroock-Varadhan 擴散鞅問題方法的組織方式。
為何重要與誠實的假設：MCLT 以適應性加上兩個結構性條件取代經典林德伯格-費勒的獨立性——二次變差收斂（設定極限變異數）與跳躍的林德伯格型可忽略性（迫使極限為高斯而非如卜瓦松）。兩個條件皆不可或缺、不能捨棄：無二次變差收斂則變異數未定；無林德伯格／可忽略跳躍條件則極限可能非高斯（補償跳躍過程收斂到李維過程而非常態）。當極限 <M> 為隨機時，極限是常態的變異數混合（此時穩定收斂是正確的收斂模式），而非固定常態——這個微妙之處在統計中很重要，那裡觀測到的（隨機）費雪資訊以條件變異數的形式出現。
把簡單對稱隨機漫步重新標度：S^n_t = (1/sqrt(n)) sum_{k <= nt} xi_k，其中 xi_k 為獨立公平硬幣步（鞅差陣列）。其可料二次變差為 <S^n>_t = floor(nt)/n -> t，而跳躍 1/sqrt(n) 可忽略，故泛函 MCLT 給出 S^n -> 布朗運動（在斯科羅霍德拓撲下）——這就是作為鞅 CLT 特例的 Donsker 不變原理。
作為鞅 CLT 的 Donsker 定理：二次變差 -> t 加上跳躍消失，迫使標度極限成為布朗運動。
兩個假設並非可有可無：捨棄二次變差收斂會使變異數未定，捨棄林德伯格／可忽略跳躍條件可使極限成為非高斯的李維過程；隨機的極限括號給出常態變異數混合，而非固定常態。