勞侖茲流形（Lorentzian manifold）
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黎曼度量用全部為正的方式量度長度與角度——每個方向都耗費正的距離。勞侖茲度量打破這對稱性，使恰好一個方向以相反符號計入。那單一個符號翻轉就是時間的數學指紋：它把每點的方向分成類時（被翻轉符號的「時間」方向）、類空（普通的「空間」方向），以及二者邊界上以光速行進的類光方向。勞侖茲流形是時空的幾何，是愛因斯坦廣義相對論的舞台。
精確地說，勞侖茲流形是一個光滑流形 M，配上一個符號差為 (-, +, +, ..., +) 的非退化對稱度量張量 g——一個負其餘為正（有些課本用相反的 + - - -；約定必須聲明）。在每一點切空間是閔可夫斯基空間的一份拷貝，而度量依 g(v, v) 的符號把切向量 v 分類：為負則類時、為零則類光、為正則類空。類光向量在每點構成一個雙錐，即光錐，而整個因果結構——哪些事件能影響哪些——都編碼在這些錐中。如同黎曼幾何有唯一的列維-奇維塔聯絡（度量相容且無撓）、一個曲率張量與測地線；但現在測地線有三種因果類型，類時測地線是自由下落粒子的世界線、類光測地線是光線，而沿類時曲線的「長度」是固有時，即時鐘實際量到的時間。一個時間定向（對每個光錐哪一半是「未來」的一致全域選擇）是額外的資料，未必存在。
為何它重要：勞侖茲幾何就是廣義相對論。愛因斯坦場方程 Ric - (1/2) S g + Lambda g = 8 pi T 把勞侖茲度量的曲率與物質內容 T 相關聯，奇異性定理證明在物理上合理的條件下測地線必須終止（黑洞、大霹靂），而因果性是一個幾何概念。誠實的提醒很尖銳。其一，與黎曼幾何核心的分析差異：測地距離在拓樸意義下不是度量——類時曲線可以有任意小甚至為零的固有時，沒有霍普夫-里諾定理，完備性的行為完全不同，而「最短」被因果的「最長」取代（類時測地線局部極大化固有時）。其二，勞侖茲度量並非在每個流形上都存在——其存在需要一個處處非零的線場，等價於非緊或歐拉示性數為零——故與黎曼度量（每個流形都容許）不同，作為勞侖茲流形是一個拓樸限制。不要把黎曼直覺整批搬過來；那個符號改變並非裝飾。
閔可夫斯基時空是 R^4 配上 ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2。向量 v = (v_t, v_x, v_y, v_z) 當 -v_t^2 + v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 < 0 時類時，即它在 t 方向上指得比在空間中多；曲線 t -> (t, 0, 0, 0) 是一條固有時等於流逝 t 的類時測地線，且它在其端點之間的鄰近曲線中局部極大化固有時——這是雙生子悖論的幾何形式。
閔可夫斯基空間：類時測地線極大化固有時，與黎曼長度極小化的測地線相反。
勞侖茲「距離」不是度量，霍普夫-里諾失效：類時測地線局部極大化（而非極小化）固有時，而測地完備性、因果性與全域時間函數的存在都與黎曼的情形確實不同——不加批判地搬入黎曼直覺是典型的錯誤。