勞侖茲推進（Lorentz boost）
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當你切換到一個以定速運動的參考系時，一個事件的座標會如何改變？在牛頓物理中你只要把 x 平移 vt、時間不動（伽利略變換）。在相對論中，因為光速對每個人都相同，時間本身也必須變換。勞侖茲推進就是那條正確的規則——兩個相對運動的慣性系之間，空間與時間的類旋轉混合。
對沿 x 方向、速率為 v 的推進，令 beta = v/c、gamma = 1/sqrt(1 - beta^2)，變換為：ct' = gamma(ct - beta x)、x' = gamma(x - beta ct)、y' = y、z' = z。以矩陣形式寫作 x'^mu = Lambda^mu_nu x^nu，其中 Lambda 正是由這個混合所定義。推進恰好是那些保持間隔 ds^2 不變、卻改變運動狀態的勞侖茲變換（有別於空間旋轉）。在 v << c（gamma -> 1）的極限下，它退回伽利略變換 x' = x - vt、t' = t。
相對論所有的運動學驚奇，都是推進按分量讀出的結果：時間膨脹（靜止時鐘 dt' = gamma dt）、長度收縮（一根桿的長度縮短 1/gamma）、同時的相對性（beta x 項混入 t'）、以及速度加成律。推進是 (ct, x) 平面上的一次「旋轉」，但轉的是一個虛／雙曲的角——快度（rapidity）——這就是為什麼沿同一軸的推進其快度可以直接相加。要注意：沿不同軸的推進並不對易，且合成兩個不平行的推進會得到一個推進加上一個殘餘旋轉（維格納旋轉，湯瑪斯進動的來源）——推進本身並不構成子群。
一個以 v = 0.8c 運動的參考系有 gamma = 5/3。實驗室中位於 (ct = 0, x = 1 m) 的事件變換為 x' = gamma(1 - 0) = 1.67 m、ct' = gamma(0 - 0.8*1) = -1.33 m——在實驗室中是「現在」的事件，對運動觀察者而言卻在過去。
推進把一個事件的時間座標與空間座標混合在一起。
推進與旋轉不同，且兩個沿不同方向的相繼推進並非單一推進——它們的合成包含一個旋轉。這個不對易性是真實的物理（電子自旋的湯瑪斯進動），而非記帳上的假象。