线性二次型调节器

线性二次型调节器，几乎总是简称为 LQR，是一套用来算出“把系统拉回你想要的位置的唯一最佳方式”的配方，前提是你同时在意两件互相竞争的事：让系统紧贴目标，以及别为此花太多力气。想象在手掌上立一根扫帚柄。你希望柄是竖直的（误差要小），但你也不想把手挥得乱七八糟（力气要省）。LQR 会在这两个愿望之间找到精确的平衡——既能纠正、又不至于反应过度的那种最平滑的修正。

它的名字来自两个词。“线性”意味着它假设系统在目标附近以一种简单的、成比例的方式运作——推两倍的力就得到两倍的反应——这一点由状态空间模型来描述，那是一组紧凑的方程，列出系统的重要数值以及它们如何变化。“二次型”意味着你想压低的代价是写成平方项的：误差的平方加上力气的平方，各自乘上你自己选的权重。把误差的权重调大，LQR 就变得激进；把力气的权重调大，它就变得温和而“偷懒”。

LQR 的美妙之处在于：对于一个带二次型代价的线性系统，你根本不必去搜索或猜测。数学会直接交给你一张固定的数值表，称为增益，它把当前的误差直接映射成正确的修正量。机器人只需每个周期把当前状态乘上这个增益，所得结果在数学上可证明就是最佳的折中。这正是 LQR 成为平衡腿式机器人、稳住无人机、对准相机云台时首选入门工具的原因。