全期望公式（law of total expectation）

當一個量難以直接求平均時，往往可以把世界拆成幾種情況，在每種情況內求平均，再按每種情況的可能性加權，去平均這些各情況的平均。全期望公式正是這個兩步平均的精確公式。

它說 E[X] = E[ E[X given Y] ]。由內而外讀：E[X given Y] 是在每個 Y 值之內算出的 X 平均 —— 一個取決於你拿到哪個 Y 的數，因而本身是個隨機變數。外層的 E 再把這個量對 Y 求平均。在離散情形它展開為 E[X] = 對 y 加總 E[X given Y = y] 乘以 P(Y = y)：依 Y 拆成各情況、在每種情況取條件平均、再以各情況機率加權。它是全機率公式在期望值上的表親。

這是應用機率中最常用的工具之一。它支撐混合分布與隨機和的計算，讓你能藉由對一個方便的輔助變數條件化來算出困難的期望值，並支撐迴歸（條件平均是最佳預測子）與動態規劃式的遞迴。關鍵的安全條件是內層的條件期望存在；接著塔狀公式便誠實地把它們組裝成整體平均。