柯爾莫哥洛夫存在定理（Kolmogorov's existence theorem）
/ kol-mo-GO-rov /
你怎麼知道一個高斯過程——或任何以連續時間為指標的隨機過程——真的存在，作為活在「同一個」機率空間上的單一隨機對象，而不只是一張有限維分布的願望清單？柯爾莫哥洛夫存在（或延拓）定理就是答案：它由一族相容的有限維分布造出過程。它正是讓你寫下一個共變異數函數、宣告「令 X 為具此共變異數的高斯過程」的許可證。
設定一個狀態空間（譬如 R 或 R^d），並對每個有限有序指標串 t_1, ..., t_n，給定 R^n 上一個機率測度 mu_(t_1, ..., t_n)，意在作為 (X_(t_1), ..., X_(t_n)) 的聯合分布律。定理說：若此族滿足兩個自然的相容性（柯爾莫哥洛夫相容性）條件——對指標重排的對稱性，以及邊際化（丟掉一個指標並把它積掉，得到較低維的測度）——則存在乘積空間 R^T（以 T 為指標的序列／函數）上一個機率測度 P，其有限維邊際恰為所給定的 mu。對高斯過程，有限維分布是由半正定 K 讀出的多元常態 N（m 的限制、K 的限制），相容性自動成立，故存在性有保證。
重要性與它「不」提供什麼：定理在乘積 σ-代數上建立分布律，其中事件僅依賴可數多個坐標。這足以定義過程，但「不」足以控制路徑性質如連續性——連續函數所成的集合在乘積 σ-代數中甚至不可測。所以先有存在（柯爾莫哥洛夫），再以「另一」論證（柯爾莫哥洛夫連續性定理，或高斯樣本路徑準則）找出具有良好（如連續）路徑的版本。第二個提醒：底層狀態空間須夠合理（如波蘭空間／標準 Borel）構造才能無條件成立。
要構造布朗運動，對 t_1 < ... < t_n 規定一個聯合分布律，其中增量 B_(t_1)、B_(t_2) - B_(t_1)、... 為獨立高斯，變異數分別為 t_1、t_2 - t_1、...。這些分布律相容，故柯爾莫哥洛夫交給你 R^[0, infinity) 上一個過程；再由第二個定理（連續性）把它升級為具連續路徑的版本。
柯爾莫哥洛夫定理把一族相容的有限維分布變成真正的過程；路徑正則性是另一個、稍後的步驟。
存在不附帶連續性：連續（或 càdlàg）路徑需另一個版本定理，因為這類路徑集合在乘積 σ-代數中不可測。