初始分布（initial distribution）

轉移矩陣告訴你鏈如何「移動」，卻不告訴你它從何「開始」。要把這套機器轉成真正的機率，你還必須說明鏈從哪裡出發。初始分布，通常記作 pi_0，是時間 0 時各狀態上的機率分布：pi_0(i) = P(X_0 = i)。它可能是對某一起始狀態的確定，也可能是真正攤在數個狀態上的不確定。

一旦固定了初始分布與轉移矩陣，鏈的整個未來便被釘死。時間 n 時的分布，由把起點向前推得到：pi_n = pi_0 乘 P^n，一次列向量乘矩陣的計算。每一步就再乘上一份 P。這個 pi_n 就是時間 n 的邊際分布 —— 該時刻處於各狀態的機率，已對所有可能導向此處的隨機路徑取了平均。

兩條轉移矩陣相同但起始分布不同的鏈，在短期是不同的機率物件 —— 但對性質良好（不可約、非週期）的鏈，它們會忘記起點：無論從哪裡出發，pi_n 都收斂到同一個平穩分布。所以初始分布主宰早期的暫態行為，對短期預測至關重要，儘管它在長期會被洗去。