同倫延拓法（homotopy continuation）
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牛頓法快，卻是局部的——只有在你已經從靠近根之處起步時才有效。對於一個你「沒有」好起始猜測的難題，該怎麼辦？同倫延拓法借用了登山者的訣竅：別直接跳上難爬的主峰；從一個你已能抵達的鄰近矮峰出發，再沿著連接的山脊一步步走，直到抵達。你把一個你能解的簡單問題「變形」成你想要的難問題，並追蹤解的移動。
用一個從 0 跑到 1 的參數 t 來設定。建一族問題 H(x, t) = 0（一個同倫），使得在 t = 0 時它是一個有已知解的「簡單」問題，在 t = 1 時它是你的「目標」問題 F(x) = 0。常見選擇是凸同倫 H(x, t) = (1 - t) * G(x) + t * F(x)，其中 G 簡單（你已知其根）、F 是你的目標。現在把 t 從 0 到 1 小步遞增；在每個新的 t，用前一個 t 的解作為牛頓法的起始猜測，因為你只移動了一點點，牛頓法很快收斂。解在 (x, t) 空間中描出一條從簡單根到難根的連續「路徑」——故稱「路徑追蹤」。
延拓法把全域上困難的求根問題化為一串局部上容易的問題，當好的起始猜測稀缺時它是首選：非線性電路與結構分析、潮流方程，尤其是找出多項式系統的「所有」解（多項式同倫延拓能定位每一個孤立的複根）。誠實的困難是真實的：路徑可能折返（轉折點，t 在該處瞬間倒退）、分叉，或經過雅可比矩陣變壞的奇異點附近——穩健的實作用弧長參數化以「沿」路徑步進而非以 t 步進，再加上自適應步長控制、預測-修正步，以及在分歧點附近的小心處理。
要在沒有好猜測下解難的 F(x) = 0，挑一個簡單的 G(x) = x - x_0，其根 x_0 由你自由選定。組成 H(x, t) = (1 - t)(x - x_0) + t F(x)。在 t = 0 時根為 x_0；把 t 推到 0.1，從 x_0 跑牛頓法，得新根；推到 0.2，依此類推。到 t = 1 時你已把解一路走到 F 的某個根，無需幸運的起始猜測。
把簡單問題變形成難問題，沿路徑追蹤根。
路徑追蹤並非自動：解的路徑可能轉折、分叉，或繞過雅可比矩陣失效的奇異點，此時以 t 天真步進便會失敗。正式的程式以弧長並用自適應控制步進——即便如此，選得不好的同倫仍可能漏掉根。