Broyden 法（Broyden's method）
/ BROY-dun /
多元牛頓法威力強大，卻付出沉重的代價：每一次迭代都必須建出新的雅可比矩陣——全部 n 乘 n 個偏導數——並用它解一個線性系統。當函數昂貴，或你沒有導數公式時，每步重算整個矩陣令人痛苦。Broyden 法是巧妙的捷徑：保留一個「近似」雅可比矩陣，並從你剛走的那一步便宜地更新它，而非從頭建造。
它是割線法的多維表親。回想割線法用相鄰兩點估計一維斜率；Broyden 對整個矩陣做類比的事。從雅可比矩陣的某個近似 B_0 出發（常是有限差分估計，甚至單位矩陣），每步解 B_n * s = -F(x_n) 求步，更新 x_{n+1} = x_n + s，再用秩一的「good Broyden」更新調整 B：B_{n+1} = B_n + ((y - B_n s) s^T) / (s^T s)，其中 y = F(x_{n+1}) - F(x_n)。這個更新是與新函數值相容（割線條件 B_{n+1} s = y）的對 B 的最小改動。關鍵是，秩一的改動讓你能便宜地更新矩陣「分解」（O(n^2) 的工作量），而非從頭重新分解（O(n^3)）。
代價是熟悉的那個。Broyden 只「超線性」收斂，不像完整牛頓法那樣二次——它需要更多迭代——但每次迭代便宜得多，因為沒有雅可比矩陣要計算，也沒有新的 O(n^3) 分解，所以總工作量常勝出，尤其當導數昂貴時。它是一維中選割線法而非牛頓法的系統級類比，並屬於更廣的擬牛頓家族（BFGS 是它在最佳化中對稱的表親）。和所有牛頓型方法一樣，它仍需要合理的起始猜測，離解遠時也可能失敗。
對同一個圓與拋物線的系統，你可以用初始猜測處的有限差分雅可比矩陣作為 B_0 來啟動 Broyden，然後「再也不」計算任何導數：每步解 B s = -F、走一步、用秩一公式微調 B。它比牛頓法多幾次迭代才到交點，但不再計算任何雅可比矩陣。
便宜地（秩一）更新雅可比矩陣，而非重建——超線性、免導數。
Broyden 以牛頓法的二次速度換取更便宜的步：它超線性而非二次收斂，且近似雅可比矩陣可能偏移，所以有時需要定期重啟（精確重算 B）。它仍需要尚可的起始猜測。