葛羅布納基底（Groebner basis）
/ GRUHB-ner /
解一條多項式方程已經夠難；解一整個多變數的方程組——例如 x^2 + y^2 = 1 連同 x = y——感覺糟得多。葛羅布納基底正是對付這件事的符號萬能鑰匙。它把一團亂的多項式方程組改寫成一個等價、結構優美的方程組，從中幾乎能機械地讀出解。它之於多變數多項式系統，正如高斯消去法之於線性系統。
先做點鋪墊：一組有限的多項式生成一個「理想」——它們所有多項式組合的集合，捕捉了那些方程聯合所蘊含的一切。許多不同的多項式組可以生成同一個理想，而大多數糾纏得毫無幫助。葛羅布納基底是該理想的一個特殊生成集（相對於所選的單項式排序而定義），帶著一個神奇性質：用此基底去除任何多項式，餘式恰為零，當且僅當該多項式屬於這個理想——所以它乾淨地回答了理想歸屬的問題。在恰當的單項式排序（字典序）下，這個基底會「三角化」：一條方程只含最後一個變數，下一條加進一個變數，如此類推——於是你解出一個變數、回代、把整個系統解開，正如你對三角線性系統所做的。
葛羅布納基底是精確解多項式系統、消去變數、證明幾何定理、檢驗理想歸屬的主力——它出現在機器人學（運動學）、密碼學、編碼理論與計算幾何中。誠實的提醒嚴峻且無可迴避：計算葛羅布納基底可能貴得天文。最壞情況下，成本與輸出的大小對變數數目是雙重指數的，是整個電腦代數中表達式膨脹最壯觀的實例。它們在原理上極其強大，在實務上於大型系統卻常常難以處理。
對系統 x^2 + y^2 = 1 與 x = y，把 x 排在 y 之上的葛羅布納基底產生三角化的一對 {x - y, 2y^2 - 1}。第二條方程只含 y，給出 y = +-1/sqrt(2)；回代 x = y 得到兩個解點。基底替你做了變數消去。
字典序的葛羅布納基底把系統三角化——先解，再回代。
葛羅布納基底的計算具雙重指數的最壞情況複雜度，因此即使在看起來很小的系統上也可能慢到絕望，而所選的單項式排序對成本影響巨大。它是一個強大的精確工具，而非快速的工具。