傅立葉正弦與餘弦轉換（Fourier sine and cosine transforms）
普通的傅立葉轉換是為整條直線、從 -infinity 到 +infinity 而設計的。但許多問題只存在於半直線 x >= 0 上——一根半無限長的桿、地面以上的空氣、牆外的區域——並在 x = 0 處只有一個邊界條件。傅立葉正弦與餘弦轉換正是為這種情形量身打造的版本，而你該選哪一個，完全由原點處的邊界條件決定。
兩者都使用實的振盪，而非複的 e^(i*xi*x)。正弦轉換是 integral from 0 to infinity of f(x) sin(xi*x) dx，餘弦轉換是 integral from 0 to infinity of f(x) cos(xi*x) dx（差一個歸一化常數）。奧妙在於它們的微分規則，會自動把邊界值吞進去。對正弦轉換，二階導數 f''(x) 轉換為 -xi^2（正弦轉換）加上一個正比於 f(0) 的項——所以它乾淨地處理「告訴你 u(0)」的狄利克雷條件。對餘弦轉換，f''(x) 轉換為 -xi^2（餘弦轉換）減去一個正比於 f'(0) 的項——所以它乾淨地處理「告訴你斜率 u_x(0)」的諾伊曼條件。簡言之：給定值用正弦轉換，給定通量用餘弦轉換。
你可以把它們看成傅立葉正弦級數與餘弦級數的連續表親，也可以等價地看成把普通轉換施於 f 跨越 x = 0 的奇延拓或偶延拓——奇延拓在原點處強制為零（狄利克雷），偶延拓在那裡強制斜率為零（諾伊曼）。實務上的回報是：把正確的轉換施於半直線上的熱或波問題，會把偏微分方程化為 xi 中的常微分方程，而邊界資料已內建其中，於是你永遠不必親手去追逐邊界項。
一根半無限長的桿 x >= 0 起初是冷的，u(x,0) = 0，而它的端點突然被維持在溫度 u(0,t) = T_0（狄利克雷條件）。正弦轉換把 u_t = k u_xx 化為一個其驅動項帶有值 T_0 的常微分方程，反轉後給出經典的誤差函數分布 u(x,t) = T_0 erfc(x/sqrt(4 k t))——熱量從被固定的端點緩緩滲入。
在 x=0 給定值時用正弦轉換，給定斜率時用餘弦轉換。
選錯了的話，微分規則中的邊界項就無法與你的條件匹配，會留下一個你無法求值的多餘 f(0) 或 f'(0)。讓轉換與條件相配：正弦配狄利克雷，餘弦配諾伊曼。