不動點迭代（fixed-point iteration）

在計算機上反覆按餘弦鍵，從任意數（弧度）開始：1，然後 cos(1) = 0.540，再 cos(0.540) = 0.858，依此類推。數字跳來跳去，最後穩定在 0.739085...，再按 cos 也不會改變。你找到了一個不動點（fixed point）——函數把它映到自己的值。不動點迭代把這種「不斷套用同一規則」的遊戲，變成解方程的通用方法。

其想法是把你要解的方程（例如 f(x) = 0）改寫成 x = g(x) 的形式，於是解就是被 g 固定不動的點。接著迭代：選一個猜測 x_0，計算 x_{n+1} = g(x_n)，x_1 = g(x_0)、x_2 = g(x_1)，依此類推。若數列收斂，其極限 x* 滿足 x* = g(x*)，正是你要的不動點。把 f(x) = 0 改寫成 x = g(x) 的方式有很多種，有些收斂、有些不收斂，差別取決於 g 在 x* 附近上升得多陡（見收縮映射條件）。牛頓法本身就是一個巧妙的不動點迭代，其 g(x) = x - f(x)/f'(x)。

不動點迭代是數值分析中最具統合力的觀念之一：它支撐線性方程組的靜態迭代法（雅可比、高斯-賽德爾）、微分方程的時間推進，以及許多機器學習的更新式。它誠實的限制是：同一個方程可以被改寫成好的或壞的 x = g(x)——草率的改寫會發散、振盪或爬得極慢，而好的改寫快速收斂。訣竅在於選擇 g，使迭代既收斂又收斂得快。