五點拉普拉斯算子（five-point Laplacian）
許多最重要的 PDE——穩態熱傳、電位、繃緊鼓面的形狀——都圍繞一個算子：拉普拉斯算子，在二維中是 x 與 y 方向二階導數之和：u_xx + u_yy。直覺上它衡量一個點的值與周圍平均相差多少：位於凹陷的點拉普拉斯為正，位於凸起的點為負。要在網格上計算它，你需要一個衡量「與鄰域之差」的模板，而標準的就是五點拉普拉斯算子。
它由 x 方向的一維二階導數模板加上 y 方向的而成。在兩方向間距同為 h 的均勻網格上，節點 (i, j) 處的公式為 (u_{i-1,j} + u_{i+1,j} + u_{i,j-1} + u_{i,j+1} - 4 u_{i,j}) / h^2。圖像是一個加號：中心節點權重 -4，四個緊鄰節點（上下左右）各權重 +1，全部除以 h^2。把分子讀成「四個鄰點之和減去四倍中心」——這等於四倍的（鄰點平均減中心），故模板字面上衡量中心比鄰域平均落後多少。其截斷誤差為 O(h^2)。
這個小加號是網格 PDE 求解的主力。在 N×N 網格上用五點模板離散卜瓦松方程 u_xx + u_yy = f，會產生一個大型稀疏線性系統 A u = b，其中 A 的每一列只有五個非零元（模板權重）——正是迭代法、多重網格法或快速卜瓦松求解器擅長攻克的稀疏系統。更寬、更高階的版本存在（九點模板可達 O(h^4)），基本五點式刻意略去對角鄰點，這也是為何它乾淨地捕捉 u_xx + u_yy，卻只二階準確。
在某網格上，一個值為 1 的節點被 0, 0, 0, 0 包圍，五點拉普拉斯給出 (0+0+0+0 - 4*1)/h^2 = -4/h^2——強烈為負，標誌一個擴散會撫平的尖凸起。中心與鄰點皆為 5 的平坦區給出 (20 - 20)/h^2 = 0，常數的拉普拉斯。
加號形模板：四個鄰點各 +1，中心 -4。
在「均勻」正方網格上，基本五點拉普拉斯略去對角鄰點——這對 u_xx + u_yy 是正確的，但意味它只二階且非旋轉對稱，故可能引入輕微的方向偏差。若 x 與 y 間距不同，必須分別加權兩個一維部分；上面的對稱式假設等間距。