連續隨機變數的期望值

對離散變數，你把「值乘以機率」加總。但連續變數——等待時間、身高、溫度——取的是不可數多個值，每一個的機率都剛好是零，於是根本沒有東西可以放進求和裡。我們要怎麼平均它？我們用積分取代求和，這是把無窮多個微小片段加起來的連續版本。

若 X 有機率密度函數 f(x)，則 E[X] = 從 -infinity 到 infinity 對 x 乘以 f(x) dx 積分。圖像與離散情形相同：f(x) dx 是落在 x 附近寬為 dx 的微小薄片裡的機率，所以 x 乘以 f(x) dx 就是「值乘以它那一小塊機率」，而積分把它掃過整條數線。如同先前，E[X] 是密度的質心——把密度曲線剪成紙板放在刀刃上會平衡的那個 x 座標。

兩個誠實的提醒。第一，密度 f(x) 不是機率；它可以大於 1，只有它在某區間上的面積才是機率——但在積分裡，dx 補回了單位，所以 x 乘以 f(x) dx 表現得就像值乘以機率。第二，這個積分必須真的收斂。對柯西密度而言，x f(x) dx 的積分發散，於是期望值根本不存在——一個有著漂亮鐘形外觀的連續變數仍可能沒有均值。