平衡解

在微分方程的所有解當中，有少數幾個特殊的解根本不變——它們完全靜止不動。一個正好處於環境所能維持之水準的族群、一杯已經達到室溫的咖啡、一個垂直向下懸掛的單擺：每一個都處於平衡，沒有移動的傾向。描述這種凍結狀態的常數函數就是平衡解，而這少數幾條水平曲線組織了所有其他解的行為。

精確地說，平衡解（或常數解）是一個為常數函數的解，y(t) = c，因此它的導數處處為零。對自治的一階方程 y' = f(y)，這些恰是使 f(c) = 0 的值 c——把右邊設為零再解之。對邏輯斯諦方程 y' = r y (1 - y/K)，把右邊設為零得 y = 0 與 y = K，所以這兩個常數就是平衡解：在 y = K 處成長率為零，族群既不上升也不下降。在斜率場中它們表現為水平線，其他積分曲線趨近或偏離它們。

平衡解是長期故事的骨架。其他解往往被拉向一個穩定平衡（匯點）或被推離一個不穩定平衡（源點），所以知道平衡點及其穩定性，就告訴你一切最終歸於何處，常常根本不必解方程。一句貫穿整門學科的誠實警告：當你以同除來解可分離方程時，必須先把除式設為零，因為「除」這個動作本身可能悄悄刪掉的正是這些常數解——平衡解正是經典的「遺失的解」。