領域分解（domain decomposition）

要和一組人畫一幅巨大的壁畫，你們不會全擠在一處——你用粉筆把牆分成區段、給每位畫師一段，讓他們平行作畫。唯一的麻煩在接縫處，一位畫師的邊緣必須與鄰人的對上。領域分解正是把這個想法用在以網格、網目為基礎的計算上：你把問題的物理區域（流體流動的網目、熱方程的網格、結構模型的單元）切成子領域，每個指派給一個行程，讓它們同時計算，只在共享邊界上協調。

具體而言，取一個在分散於許多 MPI rank 的大網格上求解的 PDE。每個 rank 擁有網格的一個連續區塊，只把那塊存在它私有的記憶體中。難處在於更新一格需要它的鄰居，而區塊邊緣的格子，其鄰居住在相鄰的 rank 上。標準的解法是一層「幽靈格」（或稱光暈、halo）：每個 rank 保留一份其鄰居資料那薄薄邊界帶的副本，每一步藉由與那些鄰居交換訊息來刷新。於是一個時間步變成：更新內部（不需通訊）、與鄰居交換光暈、更新邊緣。因為每個 rank 只碰幾個鄰居、只送一條薄邊界（表面，按區塊的面積縮放），卻在整個區塊（體積）上計算，故通訊對計算之比隨區塊變大而縮小——這正是領域分解弱擴展如此之好的原因。

領域分解是平行化計算科學那些大型模擬——流體、天氣、結構、電磁——的主導策略，因為它把物理天然的局部性（一個點主要受其近鄰影響）對應到硬體想要的局部性（主要與鄰近的處理器交談）。它核心的設計問題是負載平衡（切分領域使每個 rank 工作相等，當網目不均勻、或物理集中於某一區時很棘手）與最小化分割的表面對體積比（緊湊、近立方體的子領域比又長又薄的板塊通訊更少）。同一個詞也指一族求解器與預條件子方法（如 Schwarz 法），它們求解每個子領域的部分、迭代地把全域解縫合起來——分解作為一種數值方法，而不只是一種分散工作的方式。