微分运动学

微分运动学着眼于极小的变化：如果你把机械臂的每个关节都拨动那么一丝丝，它的手究竟会平移多少、朝哪个方向移？它问的不是一秒钟里的完整速度，而是能想象到的最小一步——一丝丝的关节转动，以及与之对应的一丝丝手部移动。它是「放大镜下」看关节运动与手部运动如何绑在一起的视角。

在极小步长里做事，结果是一种美妙的简化。在一整段大幅运动里，关节与手之间的联系是纠缠又弯曲的；但只要这一步足够小，这层联系就几乎变成一个简单、笔直的比例关系——而这个比例正是由雅可比矩阵抓住的，那张把关节的一点点扭动映射成手的一点点平移的表。这就是为什么机器人控制有那么多是建立在极小增量之上的：把成千上万个这样小而乖巧的步子叠起来，你就得到一段完整、平滑、可控的运动，而不必一口气去硬碰那条完整的弯曲关系。

微分运动学和速度运动学是同一枚硬币的两面。速度运动学把这层联系说成速度（每秒移动多少）；微分运动学把它说成增量（每一小步移动多少）。两者倚靠的是同一个雅可比矩阵，而数字控制器——反正本就是一拍一拍地极小步更新——天生就是用这种小增量在思考的。