達奎斯特等價定理（Dahlquist equivalence theorem）
/ DAHL-kvist /
這是每個數值方法都必須回答的問題：當我把步長縮向零時，算出的解真的會逼近真解嗎？它會不會並不顯然——微小的每步誤差可能累積或放大成胡言。達奎斯特等價定理為多步法給出一個乾淨、可檢驗的答案：收斂成立，當且僅當兩個更簡單的性質同時成立。它是 PDE 著名的拉克斯等價定理在 ODE 上的對應。
定理說「相容性」加「零穩定」等價於「收斂」。相容性意指方法在微觀上確實逼近這個微分方程——其局部截斷誤差在 h -> 0 時消失（方法至少以一階重現真解；具體而言係數須滿足簡單的和條件）。零穩定意指誤差在方法自身的遞迴下、當 h -> 0 時不會爆掉——形式上，方法特徵多項式的根落在單位圓上或內，且圓上的任何根為單根（這掌控了微小擾動如何在逐步遞迴中傳播）。定理證明：一個相容的方法收斂，當且僅當它零穩定。兩者單獨都不夠——一個相容卻「零不穩定」的方法（在單位圓外有寄生根）無論每一步看起來多準，都會發散。
這是數值 ODE 的基石定理，因為它把「它會收斂嗎？」這個困難的全域問題，拆成兩個局部、可檢驗的條件。相容性容易驗證（把局部誤差泰勒展開）；零穩定是對一個多項式做快速的根檢驗。誠實的微妙之處：零穩定講的是 h -> 0 的極限，與絕對穩定「不同」（後者講的是某個固定非零 h 在衰減問題上不爆掉）。一個方法可以零穩定，卻有極小的絕對穩定區域——理論上收斂，但實務上對剛性問題無用。兩個概念都重要，把它們混為一談是經典的混淆。
一個警示的例子：顯式中點多步公式 y_{n+1} = y_{n-1} + 2h*f_n 相容且二階，然而其特徵多項式的根為 1 與 -1——都在單位圓上且為單根，所以它「是」零穩定的且收斂，但 -1 處的根會埋下一個微弱成長的寄生振盪。若改動一個係數使某個根落在單位圓「外」，那麼無論多相容，方法都會災難性地發散——這正是零穩定所禁止的。
相容性加零穩定，當且僅當收斂——ODE 版的拉克斯等價。
別把「零穩定」（h -> 0 的根條件，與相容性合起來給出收斂）和「絕對穩定」（固定 h 在衰減問題上的有界性）混淆。一個方法可以零穩定且收斂，卻對剛性問題有無用的絕對穩定區域——兩者都需要，理由各不相同。