線性多步法（linear multistep method）

龍格-庫塔的一步會丟掉它學到的一切，每步都從頭重新取樣斜率。但你早已算出並儲存了最近幾個點的斜率——何不重用它們？線性多步法正是這麼做：它由「多個過去值與過去斜率」的加權組合來預測下一個值，用便宜的歷史換取高準確度，而非重新計算。

一般形式組合最近 k 個解值與斜率：sum of alpha_j*y_{n+j} = h * sum of beta_j*f_{n+j}，其中各 alpha 與 beta 是固定係數，f_j = f(t_j, y_j)。兩個著名的家族：「Adams-Bashforth」法是「顯式」的——它們只用已知的過去斜率預測新值，例如兩步公式 y_{n+1} = y_n + (h/2)*(3*f_n - f_{n-1})，把斜率趨勢外推。「Adams-Moulton」法是「隱式」的——它們也納入新的未知點處的斜率 f_{n+1}，例如一步的梯形法則 y_{n+1} = y_n + (h/2)*(f_n + f_{n+1})，更準確、更穩定，但需要解出 y_{n+1}。一個 k 步方法需要 k 個起始值，所以無法自我啟動——你用龍格-庫塔法為它開機。

最大的吸引力是「成本」：因為重用儲存的斜率，多步法每步只需「一」次新的 f 計算（相對 RK4 的四次）就能達到高階，當 f 昂貴時這是重大的節省。它常與預測-校正配對搭配，這也是為什麼高階 Adams 法是許多生產級求解器的底層。誠實的代價是：它們需要另一個啟動器與儲存歷史的額外記憶體；對變動步長很不靈活（係數假設固定 h）；而顯式者仍只有條件穩定。對剛性問題，你想要的特殊多步家族是向後差分公式（BDF）。