三角不等式（triangle inequality）

三角不等式就是規則 |z + w| <= |z| + |w|：兩個複數之和的長度，永遠不超過它們各自長度的和。這名字來自幾何。把 z 與 w 畫成箭頭；首尾相接地把它們相加，便建出一個三角形，其第三邊是 z + w。這不等式不過就是那條人盡皆知的事實——三角形的一邊永遠不會比另兩邊相加更長——從起點到終點的直線是最短的。

等號 |z + w| = |z| + |w| 恰在 z 與 w 指向同一方向時成立（其一是另一的非負實數倍），這時三角形塌成一條直線。還有一個有用的下界，即反向三角不等式：|z - w| >= |z| - |w| 的絕對值。它說大小相差懸殊的兩個數，其差不可能很小——當你需要證明某物與零保持距離時，這便是你會伸手去拿的工具。

別看它樸實，這是整個分析學中最常用的工具之一。它正是讓你能「拆解並界定」的依據——把一個複雜的和或積分，藉著估計它的各個部分來估計——更撐起了複平面中極限與連續的定義本身。圍道積分的 ML 不等式、級數的比較判別法，以及無數收斂的證明，全都倚靠這謙遜的一行。