次調和函數（subharmonic function）

調和函數恰好坐在其周圍的平均上。次調和函數則坐在那個平均之上或之下——相對於調和平衡它往下垂，像一張從下方被壓住的繃緊薄膜，或一個帶有內部吸熱孔的溫度場。前綴 sub-（次）意指它躺在任何在邊界上與它相符的調和函數之下，就像弦躺在凸圖形曲線之下（或之上）。

有兩種等價方式把它釘住。平均形式：一個連續（更一般地，上半連續）函數 u 是次調和的，若對每個小圓，圓心處的值小於或等於 u 在該圓上的平均——這是調和平均值等式的反向。比較形式：u 在 D 上次調和，若每當 h 在某子區域上調和且在該子區域邊界上 u <= h，則在內部也有 u <= h。對光滑函數還有第三個很好用的判準：u 次調和恰當其拉普拉斯算子非負，u_xx + u_yy >= 0。所以次調和之於調和，正如凸之於線性：凸函數躺在其弦之下；次調和函數躺在其調和優函數之下。

次調和函數是佩龍方法的原料：因為你可以取兩個次調和函數的最大值、結果仍是次調和函數（不像調和函數太剛硬而無法這樣組合），它們形成一個你可以往上推向狄利克雷問題之解的彈性家族。它們也滿足自己的最大值原理——次調和函數在邊界上達到最大值——這正是你對一個往上鼓起的東西所預期的。提防一個常見的失誤：對解析函數 f，|f(z)| 與 log|f(z)| 是次調和的，這是最大模原理的一個來源，但它們一般並非調和；次調和是比調和嚴格更大、更有彈性的一類。