全等公理（congruence axioms）
一旦你能說哪個點落在哪條線上、哪個點介於另兩點之間，你仍無法說兩線段「一樣長」或兩角「一樣大」——接合與順序對大小一無所知。全等公理就是供應這點的一族。它們在從不提數字或尺的情況下，精確說明把一條線段複製到另一處、以及形狀互相吻合是什麼意思。
希爾伯特對線段與角各列出公理。對線段：給定線段 AB 與一條由 C 點出發的射線，該射線上恰有一個點 D 使 CD 與 AB 全等——你能把任一線段唯一地、朝任意方向複製過去。線段全等還要求具遞移性（若 AB 全等於 CD、CD 全等於 EF，則 AB 全等於 EF）與可加性（全等的部分相加得全等的整體）。對角則有相應的複製公理：任一角都能在給定射線的任一側被唯一地複製。拱心石是 SAS（邊角邊）公理：若一三角形的兩邊及其夾角與另一三角形對應全等，則兩三角形處處全等。希爾伯特把 SAS 當作公理，正因歐幾里得對它的「證明」偷偷把一個三角形疊到另一個上——那種移動歐幾里得從未證成。
由這一族流出所有三角形全等定理（ASA、SSS、AAS、等腰三角形定理）以及整套長度與角度量的理論。誠實的微妙處：全等是「大小與形狀相等」的幾何概念，且在邏輯上先於數值度量——希爾伯特先建立它，再說明數字可事後附上。所以「全等」並非定義為「度量相等」；反之，度量是這樣定義的，使全等之物得到相等的數字。
複製公理的實際運作：取任意長的線段 AB、點 C，與由 C 出發的射線。公理交給你該射線上唯一一個點 D 使 CD 與 AB 全等。這就是用尺規「複製線段」的邏輯支柱——作圖之所以成立，是因為公理保證 D 存在且唯一。
複製線段、複製角，加上 SAS——讓形狀得以比較的三根支柱。
希爾伯特把 SAS 立為公理而非定理，因為歐幾里得是靠把三角形滑疊在一起來「證明」它——一種未明說的移動。SSS、ASA、AAS 於是成為可證的定理；SSA 與 AAA 仍不是有效判準。