對獨立 σ-代數取條件（conditioning on an independent sigma-algebra）

有些資訊對預測 X 根本無用。如果 G 告訴你的東西與 X 毫無關係——兩者在統計上獨立——那麼得知 G 完全不該改變你對 X 的估計。這條規則把它說得精確：對獨立資訊取條件，會讓條件期望塌回那個普通的、無條件的期望。知道東京一枚硬幣的結果，不會改變你對里斯本明日天氣的最佳猜測。

精確地說：若 X 與 σ-代數 G 獨立（意指 X 與 G 裡的每個事件都獨立），則 E[X given G] = E[X]，一個常數。你可以拿兩條定義性質來驗證：常數理所當然是 G-可測的；而由獨立性，X 在 G 裡任何 A 上的積分等於 E[X] 乘以 P(A) = 常數 E[X] 在 A 上的積分，所以部分平均成立。兩條要求都滿足，於是由唯一性，條件期望必須是那個常數。對無關的東西取條件，給不了你任何新東西——恰如直覺所堅持的。

這是條件推理的兩大支柱之一，與「把已知拿出來」完美互補。兩者合起來就能處理典型的鞅步驟 E[ X_{n+1} given F_n ]：已經決定了 X_{n+1} 一部分的過去 F_n 被當作已知提出來，而與 F_n 獨立的全新增量則被卸下條件，回歸它的普通均值。一個誠實的提醒：條件是真正的獨立，不是僅僅零相關。一個與 X 不相關但不獨立的 G 仍可能把 E[X given G] 推離 E[X]——零相關只殺死線性依賴，而條件期望也看得見非線性依賴。