測度集中（concentration of measure）

把夠多的獨立事物平均起來，一件近乎奇蹟的事就會發生：結果幾乎不變動。擲一枚公正硬幣十次，正面數到處亂跑；擲一千萬次，正面的比例就以驚人的可靠度黏在二分之一上。這個現象——許多獨立貢獻的函數極大可能坐落在它的均值非常近處——就叫測度集中。它正是隨機性在整體上變得可預測的深層原因。

具體地說，n 個獨立項之平均的散布會縮小：它的標準差像 1 / sqrt(n) 那樣下降，而（在有界或輕尾的條件下）即使偏離一個固定量的機率也隨 n 呈指數下降。使這件事精確的那一群定理——馬可夫、柴比雪夫、柴諾夫、霍夫丁、伯恩斯坦、阿祖瑪、McDiarmid——就是「集中不等式」。它們全都以逐步加精的精確度表達同一個訊息：一個高維隨機物件、或許多小的獨立片段之總和，會緊貼它的期望值，而出現有意義偏離的機率微乎其微。更深的現代形式注意到：高維空間上任何性質良好的（Lipschitz）函數都幾乎是常數——隨機性「集中」到一層薄殼上。

集中是統計、機器學習、隨機演算法與統計物理背後沉默的主力。這就是為什麼幾千名受訪者的民調能釘住一國的民意、為什麼把含雜訊的量測平均起來能將它們淨化、以及為什麼泛化根本是可能的——一個模型在訓練集上的表現會集中在它真實表現的附近。誠實的提醒：集中需要各貢獻（近乎）獨立且尾部不太重。強相依或重尾（變異數無窮，如柯西）會破壞它——那時單一罕見項就能主宰整個平均，它永遠安定不下來。