Chung-Lu 與隨機區塊模型（the Chung-Lu and stochastic block models）

這些是非齊次隨機圖：G(n,p) 的推廣，容許邊機率依賴於牽涉的是哪些頂點。Chung-Lu 模型針對每個頂點的指定期望度數（是組態模型的一種柔性、獨立邊替代品）；隨機區塊模型（SBM）把頂點分成若干社群，使邊機率依賴於兩端點所屬的社群。二者合起來是真實網路兩個最重要、而厄多斯-雷尼所缺特徵的典範模型：異質度數與社群結構。它們回答的問題是：如何在保持邊獨立的同時，建構一個既有樞紐、又有團簇、且易處理的隨機圖？

在 Chung-Lu 模型中每個頂點 i 被賦予一個權重 w_i，而邊 (i,j) 各自獨立地以正比於 w_i w_j 的機率出現（具體約為 w_i w_j / (sum_k w_k)，上限為 1）。於是 i 的期望度數本質上是 w_i，故指定權重就指定了期望度數序列——而選冪律權重便得到一個邊獨立的冪律圖，這比組態模型遠易分析。在有 q 個社群的隨機區塊模型中，每個頂點以社群標號，社群 a 與 b 中的兩頂點各自獨立地以機率 B_{ab} 相連（一個 q 乘 q 的機率矩陣）。「同配」（assortative）情形 B_{aa} > B_{ab} 描述內部比社群間更稠密的社群。二者都是 Bollobas-Janson-Riordan 一般非齊次隨機圖的特例，其中邊 (i,j) 以機率 kappa(x_i, x_j)/n 出現，kappa 是頂點型別空間上的核；巨大連通分量與其他特徵便可由 kappa 構造的積分算子讀出（巨人存在當且僅當該算子範數超過 1，這是「平均度數大於 1」的算子論推廣）。

這些模型是現代社群偵測與網路統計的基礎。SBM 尤其是一個尖銳演算法相變的試驗場：在兩社群稀疏 SBM 中，內部機率 a/n、社群間機率 b/n，當且僅當 (a - b)^2 > 2(a + b) 時社群能優於隨機猜測地被恢復（弱恢復）——這是 Kesten-Stigum／Decelle-Krzakala-Moore-Zdeborova 門檻，在它之下劃分在資訊理論上不可見。誠實的提醒：Chung-Lu 與 SBM 在給定型別下保持邊獨立，這使它們便於分析，但意味它們與厄多斯-雷尼共享局部樹狀、低聚類的本性——它們生成樞紐與區塊，卻少有三角形，故仍不重現社交網路的高聚類。且 SBM 的恢復門檻是關於此生成式模型的定理；真實的社群偵測須應對模型設定錯誤，而乾淨的門檻理論並未處理這點。