特徵帶（characteristic strip）
對擬線性方程，特徵線只是一條曲線——你追蹤自己在哪裡、u 是多少。但對完全非線性的一階方程，其中導數以複雜的方式出現，光知道點和值不足以往前走：你還必須攜帶解在該點的斜率。特徵帶就是一條被這份額外斜率資訊豐富了的特徵曲線——一條穿過空間、以正確角度傾斜的、薄薄的解曲面帶。
把完全非線性的一階方程寫成 F(x, y, u, p, q) = 0，其中 p = u_x、q = u_y 是偏導數。特徵帶由完整的 Charpit-Lagrange 方程組承載：dx/ds = F_p、dy/ds = F_q（這些描出曲線），du/ds = p F_p + q F_q（這把它抬升到曲面），以及 dp/ds = -(F_x + p F_u)、dq/ds = -(F_y + q F_u)（這些演化斜率）。是五條耦合常微分方程，而非三條。「帶」這個名字很貼切：在曲線的每一點你還攜帶那小片切平面（由 p 與 q 決定），所以傳播的不是一條光禿的線，而是一條帶著傾斜的線——一條緞帶。把這些帶縫合起來，你又回收了解曲面，如今是完全非線性方程的解曲面。
特徵帶正是力學與幾何光學中的漢米頓-雅可比方程的求解方式：這些帶恰是射線（光線、粒子軌跡），而它們攜帶的斜率就是動量或波法線。這是偏微分方程與漢米頓力學之間的深刻聯繫——解偏微分方程就是沿射線運行漢米頓方程——它把擬線性情形那幅簡單的承載曲線圖景，推廣到完全非線性的世界。
幾何光學的程函方程 u_x^2 + u_y^2 = 1 是完全非線性的，所以它的特徵帶除了點之外還攜帶波前的斜率 (p, q)。這些帶描出垂直於 u 的等高線（波前）行進的直線光線，斜率沿每條射線保持常數。
一條帶攜帶一個點以及該處的斜率——這條緞帶解開了完全非線性方程。
帶所帶的斜率資料並非自由的：所攜帶的 p 與 q 在起點必須滿足 F = 0 與帶相容關係（du = p dx + q dy），否則該帶不會落在真正的解曲面上。把它們初始化錯了，你就建出胡言。