費克第二定律（Fick's second law）
/ Fick = FIK /
費克第一定律告訴你原子此刻流得多快，卻沒告訴你一個濃度分布如何隨著時間過去而重新塑形。看一滴染料在膠中散開：原本銳利的一團逐漸柔化成一片模糊的雲，峰頂下沉，邊緣向外爬。費克第二定律正是預測這件事的帳本——擴散如何把尖銳的特徵抹成平滑的，使每一點的濃度隨時間上升或下降。
它來自把費克第一定律和「原子不會無中生有也不會憑空消失」這條樸素的守恆規則結合起來：凡是流進一薄層而沒有流出去的原子，就必定在其中堆積。結果是 dC/dt = D times (d^2C/dx^2)。用文字說：某一點的濃度隨時間變化的速率，由分布曲線的曲率決定。分布呈碗狀（向上彎，是山谷）之處，物質累積、C 上升；呈拱狀（是山峰）之處，物質流失、C 下降。擴散總是侵蝕山峰、填平山谷。一個經典解是把兩塊固體面對面焊在一起時得到的誤差函數（error function）分布：成分上那道銳利的階梯模糊成一條 S 形曲線，其寬度隨 sqrt(D times t) 成長——寬度加倍需要四倍的時間。
那個 sqrt(D times t) 是整個擴散學裡最有用的一個量：原子在時間 t 內通常游走的距離。這正是為什麼把擴散深度加倍要花四倍時間，也是為什麼燒成排程要在溫度與時間之間權衡。在陶瓷中，它主宰摻雜物在燒成時滲入多深、粉體壓坯裡的濃度差多快抹平、以及一層顏色或反應層長多深。誠實的提醒：要乾淨地求解，得假設 D 是常數，但在真實陶瓷裡 D 可能隨濃度、隨氧壓、並隨溫度陡峭地變化，所以那些漂亮的誤差函數解只是初步近似，而非金科玉律。
把一塊純 MgO 焊到一塊 NiO 上並保持高溫：鎳離子與鎂離子在接合面上互擴散，費克第二定律預測出那條隨 sqrt(D times t) 變寬的平滑 S 形成分曲線——經過四倍的時間，模糊帶的深度會加倍。
擴散方程：分布曲率最大之處濃度變化最快，於是山峰受侵蝕、山谷被填平；特徵以 sqrt(D times t) 擴展。
一個常見的陷阱是以為擴散深度會與時間成正比。並不會——它隨時間的平方根成長，所以第二個小時所增加的滲透，遠少於第一個小時。sqrt(D times t) 這條經驗法則值得牢記。