梯形的面積

梯形（在英式用法中稱為 trapezium）是恰有一組平行邊的四邊形——想像從側面看一個水桶，上寬下窄，或是一段運河的橫斷面。它的面積介於以其短平行邊和長平行邊為底所能建造的兩個矩形之間。

把兩條平行邊稱為 a 和 b，把它們之間的垂直距離（高）稱為 h。面積為 A = (1/2) · (a + b) · h。用文字說：把兩條平行邊取平均，再乘以高。取平均是合理的——這個圖形「介於」寬為 a 的矩形和寬為 b 的矩形之間，所以它的有效寬度就是兩者的平均。一個漂亮的證明是把梯形複製一份，旋轉 180 度，把兩者拼成一個底為 (a + b)、高為 h 的平行四邊形，其面積是梯形的兩倍。

若兩條平行邊剛好相等，這個梯形其實就是平行四邊形，公式便退化為 (1/2)(a + a)h = a · h，正如它應該的那樣。梯形的「中線」——連接兩條傾斜邊中點的線段——長度為 (a + b)/2，正是面積中出現的那個平均值。