解析函數的零點
函數 f 的零點，就是使 f(z_0) = 0 的一點 z_0——函數穿過虛無的地方。對多項式來說這些就是根，而 n 次多項式恰有 n 個（按重數計，即代數基本定理）。對一般的解析函數，零點更豐富、更有結構，理解它們就能開啟恆等定理、輻角原理，以及複函數在何處消失的整套研究。
關鍵的結構事實：若 f 解析且不恆為零，則在它每個零點 z_0 附近，你可以提出 (z - z_0) 的一個冪。具體地說，f(z) = (z - z_0)^m g(z)，其中 m 是正整數（零點的階），g 解析且 g(z_0) 不等於 0。你可由泰勒級數直接看出這點：把 f 繞 z_0 展開，由於 f(z_0) = 0，常數項消失；m 是第一個非零係數的指標，故 f 從 a_m (z - z_0)^m + 更高次項 開始，提出 (z - z_0)^m 後留下一個在 z_0 不消失的級數。這個因式分解是多項式因式分解的解析鏡像。
由此因式分解流出兩個深刻的推論。第一，不恆為零的解析函數的零點是孤立的：每個零點獨自坐落，周圍有一個不含其他零點的小圓盤，因為不消失的因子 g 使 f 在附近遠離 0。第二，由於零點孤立，它們無法在定義域內部聚集——若零點朝某個內部點堆積，函數就被迫恆為零。這正是恆等定理的動力所在，也使解析函數驚人地剛性：它們的零點集稀疏、離散、且富含資訊。
f(z) = sin z 是整函數，恰在 z = n pi（n 為整數）消失——一個無窮但孤立的集合，任兩個零點之間相距不小於 pi。在 z = 0 附近，sin z = z - z^3/6 + ... = z (1 - z^2/6 + ...)，故 0 處的零點階為 1，不消失的因子為 g(z) = 1 - z^2/6 + ...。
即使有無窮多零點，它們仍保持孤立離散——只有在函數恆為零之處它們才會不孤立。
零點的孤立性要求函數解析且不恆為零。一個實光滑（但非解析）的函數可以在整個區間上消失；任何非零解析函數都不能，這正是光滑與解析之間的鴻溝。