零相關不蘊涵獨立（zero correlation does not imply independence）

這是整個機率論中最重要、也最常被違反的事實之一。人們很容易把「相關係數為零」讀成「完全沒有關係」，然後把兩個變數當作獨立。這一步是錯的，弄錯了會導向嚴重偏差的結論。

原因正在於相關係數所衡量的東西。共變異數、進而相關係數，只捕捉變數之間的「線性」關聯 —— 沿著一條直線排列的傾向。兩個變數可以不相關（rho = 0，沒有線性趨勢），卻透過某種曲線關係而完全、甚至確定地相依。獨立是強得多的要求：它要求聯合分布對「每一個」事件都能分解，排除一切形式的相依，無論線性或非線性。因此獨立蘊涵零相關，但反之不然。

有一個著名的例外助長了這個混淆：若 (X, Y) 為聯合（二元）常態，則不相關「確實」蘊涵獨立。人們從這個特例過度推廣。一般而言它是錯的 —— 誠實的規則是：獨立會免費給你零相關，但零相關只買到「沒有直線趨勢」這一點，僅此而已。