二元常態分配（bivariate normal distribution）

鐘形曲線有個二維的表親。二元常態分配描述一對 (X, Y)，其聯合密度在平面上形成一座平滑的鐘形小山，等高線是橢圓。每當兩個量各自大致常態、且以大致線性的方式相關時 —— 身高與體重、兩個相關的考試分數、成對的測量誤差 —— 它就是預設的模型。

它有五個參數：兩個平均值 mu_X 與 mu_Y（山峰中心位置）、兩個標準差 sigma_X 與 sigma_Y（各方向的寬度），以及介於 -1 與 +1 之間的相關係數 rho（橢圓傾斜與壓扁的程度）。當 rho = 0 時等高線與座標軸對齊、兩變數獨立；當 rho 趨向 +1 或 -1，橢圓傾斜並收窄成一條細長的對角雪茄形 —— 這對變數被擠向一條直線。在固定 X 處切這座山，得到 Y 的一條常態曲線（條件常態）；把它壓到任一軸上，得到常態邊際。

兩個乾淨的事實使這個分配格外好用、也格外特別。第一，每個邊際與每個條件都本身是常態，且每個條件平均都是條件變數的一條直線 —— 這是線性迴歸的理論家園。第二，在此處（基本上也僅在此處）不相關蘊涵獨立。但要當心：兩個各自為常態的變數「未必」聯合服從二元常態；那個更強的聯合結構是額外的假設，並非自動成立。