維納混沌分解（Wiener chaos decomposition）
/ VEE-ner /
一旦有了高斯噪音 W，它的「所有」平方可積泛函長什麼樣？維納混沌分解就是答案：它是高斯隨機性的傅立葉分析。它說：對 W 可測的泛函所成的整個 L^2 空間，分裂為「次數」遞增的正交直和——第 n 維納混沌——由高斯的厄米多項式構成。它是把函數寫成冪級數的無窮維對應，厄米多項式扮演單項式的角色。
設 W 為 H 上的同位常態高斯過程。第 n 維納混沌 H_n 是所有隨機變數 H_n(W(h)) 的閉張成，其中 H_n 為第 n 個厄米多項式（H_0 = 1、H_1(x) = x、H_2(x) = x^2 - 1、H_3(x) = x^3 - 3x、...）且 ||h||_H = 1。這些混沌在 L^2 中兩兩正交，且分解定理（維納-伊藤）斷言 L^2(sigma(W)) = H_0、H_1、H_2、... 的正交直和。於是每個平方可積的 F = F(W) 有唯一展開 F = sum over n of F_n，其中 F_n in 第 n 混沌，且 E[F^2] = sum ||F_n||^2（畢氏定理）。厄米多項式出現的原因在於它們正是高斯測度的正交多項式：當 Z 為標準常態，E[H_m(Z) H_n(Z)] = 0（m != n）、= n!（m = n）。此外，每個混沌 H_n 等距（差個 n!）於 H 的對稱 n 重張量冪，其元素即 n 重維納-伊藤積分。
重要性：此分解是馬利亞萬計算、混沌變數常態逼近的第四動差定理、高斯多項式泛函分析、以及奧恩斯坦-烏倫貝克半群譜論（每個混沌 H_n 是特徵值 -n 的特徵空間）的基礎。一個須澄清的常見誤解：此處的「混沌」與動力系統的混沌無關；它是維納對齊次多項式層的命名。且分解要求 F in L^2——它是 L^2 範數下的正交展開，而非逐點恆等。
設 Z 為標準常態（一維 H 的 W）。則 Z^2 = (Z^2 - 1) + 1 = H_2(Z) + H_0(Z)：確定性部分 1 落在第 0 混沌、中心化部分 Z^2 - 1 落在第 2 混沌、無第 1 混沌分量。平方一個高斯產生 2 次項——這正是為何 E[Z^2] = 1（H_0 部分）且 Var(Z^2) = E[H_2^2] = 2。
厄米多項式是正交的基本構件：Z^2 分解為 H_2(Z) + H_0(Z)，落入第 2 與第 0 維納混沌。
維納「混沌」只是厄米／多項式層的名稱；與確定性混沌無關，且展開是 L^2（非逐點）恆等。