維托里斯-里普斯複形（Vietoris-Rips complex）
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給定一團點與一個距離閾值，把它變成形狀最懶的辦法是：把每對比閾值近的點連起來，然後把任何團（clique，一組兩兩都近的點）宣告為一個填滿的單純形。這就是維托里斯-里普斯複形。它便宜，因為你只量兩兩距離——不必檢查球是否真的在某個共同區域重疊——這使它成為點雲拓樸資料分析的主力複形。
精確地說，對一個帶度量 d 的有限點集 P 與尺度參數 r，維托里斯-里普斯複形 VR(P, r) 是這樣的抽象單純複形：它含單純形 {p_0, ..., p_k}，恰當每一對都滿足 d(p_i, p_j) <= r（有些作者用 2r 或嚴格不等式——約定不一，故務必查核）。關鍵是它是旗（團）複形：它完全由其 1 骨架（近對之圖）決定，因為一個單純形存在當且僅當它所有的邊都存在。這使它易於建造、也易於增長成過濾：增大 r，邊與更高的團單調地出現，餵給持續同調。相對地，切赫複形要求點周圍半徑 r 的實際球有共同交集，才宣告一個單純形——更忠實，但在高維中測試昂貴得多。
維托里斯-里普斯複形是持續同調的預設輸入，因為它僅憑一個距離矩陣就可計算，能擴展到切赫交集測試無望的高維，並增長成乾淨的過濾。關鍵的誠實：VR 不是神經，所以神經定理並不直接證明它的同調與底層空間相符。救它的是一個交織（夾擠）定理：Cech(r) 含於 VR(r) 含於 Cech(r')（某相關尺度 r'），所以 Rips 與 Cech 的持續圖在瓶頸距離下相近，再結合穩定性，Rips 條碼仍可靠地反映資料的拓樸。第二個告誡是代價：旗複形可能有天文數字般多的高維單純形，所以實務流水線會限制維度或使用稀疏化的變體。
三個點構成一個三角形，所有兩兩距離 <= r，在 VR(P, r) 中不僅給出三條邊，還給出填滿的 2 維單純形，因為每對都在 r 之內——不檢查共同區域是否存在。同一個 r 下的切赫複形只有當三個半徑 r 的球共有一個公共點時才填滿三角形，這在鈍角配置下可能失敗；這個落差正是 Rips 與 Cech 相異、必須交織的原因。
Rips 僅憑兩兩距離就填滿一個團；Cech 要求一個真正的共同重疊。
維托里斯-里普斯複形是旗複形，不是神經，所以它不繼承神經定理的保證。它的正確性仰賴與切赫複形的交織加上穩定性定理；約定也不一（r 對 2r、嚴格對非嚴格），所以在約定確定之前，條碼的尺度軸是無意義的。