單純複形（simplicial complex）
用點、棍子、實心三角形、實心四面體以及它們更高維的同類來搭一個形狀，而且只沿著整片共有的面黏合。這就是單純複形：一個空間的樂高模型，積木就是單純形——0 維單純形是頂點，1 維單純形是邊，2 維單純形是填滿的三角形，3 維單純形是填滿的四面體——而黏合規則很嚴格，所以兩個三角形可以共有一整條邊或單一頂點，卻絕不能只重疊一半，也不能穿過彼此的內部。
有兩種版本你應該分清楚。幾何單純複形 K 是一堆實際擺在 R^N 中的單純形，使得 (i) K 中任一單純形的每個面也在 K 中，(ii) 任兩個單純形的交集要嘛是空集，要嘛是兩者共有的一個面。抽象單純複形則丟掉幾何：它只是一個頂點集 V，外加一族有限非空子集（即單純形），且對「取非空子集」封閉——若 {a, b, c} 是單純形，則 {a, b}、{a} 等也都是。每個抽象複形都能被幾何實現（其幾何實現記作 |K|），所以抽象版是帳本，幾何版是圖像。於是計算拓樸就化為有限的組合學：同調 H_k(K) 由張成各 k 維單純形的鏈群之間的邊界算子讀出。
單純複形是計算拓樸的骨幹，因為有限複形就是一個有限的資料結構——一張頂點清單與哪些子集構成單純形——所以電腦能儲存它，並在某個體或在 Z 上跑線性代數，算出貝蒂數與撓元。誠實的提醒在於細分的代價：要忠實地三角剖分一個流形可能需要極多單純形，高維面的數量會爆炸，而且在高維中並非每個拓樸流形都容許三角剖分。也別把單純複形與單純集（simplicial set）或 CW 複形混淆；後者用任意黏貼映射來黏胞腔，彈性大得多，但已不再是初等意義下的純組合物件。
四面體的邊界是一個單純複形，有 4 個頂點、6 條邊、4 個三角形（但沒有 3 維單純形，因為內部是空的）。它是 2 維球面 S^2 的一個三角剖分：歐拉示性數為 4 - 6 + 4 = 2，正是 chi(S^2)，其同調為 H_0 = Z、H_1 = 0、H_2 = Z。
四個三角形沿共有邊黏成一個中空球面；交錯的面數計數重現了歐拉示性數。
面交集規則至關重要：若一堆三角形不正當地相遇（只共有邊的一部分，或互相穿越），就不是單純複形，對它做天真的邊界計算會得到錯誤的同調。當你只需要拓樸時，抽象版就夠用；只有在真正需要度量圖像時，才動用幾何實現。