對頂角

讓兩條直線交叉，就像張開的剪刀兩片刀刃，交點周圍便出現四個角。彼此正對、不是並排而是隔著交點背對背的那兩個角，就構成一組對頂角。剪刀張開的 X 形狀有上、下兩個尖角彼此相等，左、右兩個尖角也彼此相等。

嚴格地說：當直線 AB 與 CD 相交於 P 點，角 APC 與角 BPD 位於 P 的兩側，構成一組對頂角；角 APD 與角 BPC 構成另一組。關鍵事實，也就是對頂角定理，是對頂角的度數永遠相等。理由簡短而漂亮：角 APC 與角 APD 合起來是一條直線，所以 m(角 APC) + m(角 APD) = 180；角 BPD 與角 APD 也合成一條直線，所以 m(角 BPD) + m(角 APD) = 180。兩個和都等於 180，因此 m(角 APC) = m(角 BPD)。每一組共用同一個補角，所以每一組都相等。

這常常是學習者真正遇到的第一個定理——一個在證明之前並不顯然、卻能用乾淨兩行證出的事實。它也點出一個常見錯誤：對頂角是隔著交點正對的那一對，而不是並排相鄰的那一對。並排的角是鄰角，構成一個平角（線性對），它們相加為 180，而不是相等。