頂點曝露鞅與邊曝露鞅（vertex- and edge-exposure martingales）
頂點曝露鞅與邊曝露鞅是證明隨機圖中圖參數圍繞其平均值集中的標準手段，做法是把圖參數實現為一個鞅並套用 Azuma-Hoeffding 不等式。難處在於有趣的量——色數、最大團的大小、最長路徑的長度——是所有隨機邊的複雜全域函數，沒有簡單的變異數公式，也沒有可直接利用的獨立性。曝露鞅巧妙地化解這點：它一次揭露一塊隨機性，並追蹤該參數的條件期望，後者由構造即為一個鞅，無論該參數多麼複雜。
具體地，令 f(G) 為任一圖參數，G 為隨機圖 G(n,p)。把隨機性排序，藉由逐步揭露來定義鞅。在邊曝露鞅中，依固定順序列出 C(n,2) 條潛在邊 e_1, ..., e_m，並令 X_i = E[f(G) | e_1, ..., e_i 的狀態（存在/不存在）]；則 X_0 = E[f(G)]，X_m = f(G)，而 (X_i) 是杜布鞅。在頂點曝露鞅中，逐頂點揭露邊：X_i = E[f(G) | 前 i 個頂點之間的所有邊]。關鍵是有界差性質：若改變單一條邊的狀態（或單一頂點處的所有邊）至多使 f 改變 c，則鞅的增量以 c 為界，Azuma-Hoeffding 給出 P(|f(G) - E[f(G)]| >= t) <= 2 exp(-t^2 / (2 m c^2))。對 Lipschitz 圖參數，這完全不需變異數計算便得出集中性。
其重要性在於：它為第二動差法難以處理的參數提供集中性，因為 Azuma 只需要一個最壞情形的有界差（Lipschitz）常數，而非詳細的相關結構。頂點曝露往往遠強於邊曝露：增刪單一頂點至多使許多參數（如色數）改變 1，給出 m = n 步、每步 c = 1，故即使有 C(n,2) 條邊，集中尺度仍為 sqrt(n)。誠實的提醒是 Azuma 的界只與 Lipschitz 常數一樣好：一個在單邊改變下能劇烈擺動的參數會給出無用的界，且此方法證明圍繞平均 E[f(G)] 的集中，卻對該平均在何處毫無所言——定出 E[f(G)] 是另一個問題。它通常也只給出 sqrt(n) 尺度的集中，這可能遠弱於真相（對許多 p，色數集中在遠短於 sqrt(n) 的區間上）。
色數集中。對 G(n, 1/2)，令 f = chi(G)。增加一個頂點（連同其所有邊）至多使 chi 升高 1，故頂點曝露鞅有 n 個增量，每個以 1 為界。Azuma 給出 P(|chi(G) - E[chi(G)]| >= t sqrt(n)) <= 2 e^(-t^2/2)，故 chi 集中在其平均的 O(sqrt(n log n)) 之內——這由一行 Lipschitz 觀察證得，且完全不知道 E[chi(G)] 實際是多少。
逐步揭露隨機性；有界差 + Azuma 給出圍繞平均的集中性。
Azuma 證明圍繞 E[f(G)] 的集中卻從不定出該平均，且界只與最壞情形的 Lipschitz 常數一樣好——常給出遠弱於真實集中的 sqrt(n) 尺度。