和的變異數（the variance of a sum）

平均值永遠相加 —— E[X + Y] = E[X] + E[Y]，沒有任何附帶條件。變異數就沒這麼簡單。一個總和的分散程度是否等於各部分分散程度的單純相加，完全取決於這些變數是否一起變動，而這由它們的共變異數所支配。

兩個變數的一般規則是 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y)，這直接來自共變異數的雙線性。交叉項就是全部的關鍵。若兩者傾向一起漲跌（共變異數為正），總和會比你天真預期的「更」分散；若彼此抵銷（共變異數為負），總和則「較不」分散 —— 這正是分散投資背後的數學。只有當它們不相關時，交叉項才消失、變異數才單純相加：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)。對多個變數，Var(對 i 加總 X_i) = 對 i 加總 Var(X_i) + 2 乘以對所有配對加總的 Cov(X_i, X_j)。

獨立足以（雖然比必要條件更強）使變異數相加，因為獨立迫使每個共變異數為零。這就是為什麼對 n 個變異數皆為 sigma^2 的獨立同分布測量，其和的變異數為 n sigma^2，而平均的變異數為 sigma^2 / n —— 它的分散程度按 1 / 根號 n 縮小。這單一事實正是為什麼取平均能降低雜訊，也是大數法則與中央極限定理的種子。